Rueda y silla

De Física Itinerante
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Ficha del experimento
Autor(es) original(es) Néstor Espinoza
Área(s) abarcadas Mecánica
Nivel de enseñanza Séptimo Básico, Octavo Básico, Segundo Medio, Tercero Medio
Contenido curricular abordado
* Séptimo Básico

Unidad 2. Fuerza y Movimiento: las fuerzas de la Tierra y el espacio.

  • Octavo Básico

Unidad 3. Tierra y Universo: dinamismo de la Tierra.

  • Segundo medio

La Tierra y el Universo: Kepler

  • Tercero medio

Fuerza y movimiento: momento angular.

La siguiente serie de experimentos, que ocupan desde una simple rueda de bicicleta hasta una silla giratoria, pretenden desglosar las maravillas del entendimiento del moméntum angular, momento de inercia y torque gracias a resultados experimentales altamente contraintuitivos. Estos conceptos, que usualmente son introducidos en el área de dinámica rotacional y sólidos rígidos, mostrarán ser una de las grandes aplicaciones de la primera ley de Newton y una natural extensión de los conceptos de moméntum lineal y, en general, de la segunda ley de Newton a movimientos con rotación.

Introducción

El rango de fenómenos que pueden ser detallados con el análisis de la mecánica rotacional es altísimo. A toda escala (incluso a nivel atómico) conceptos como el momento de inercia o el moméntum angular son fundamentales para comprender la Física que gobiernan los distintos sistemas. Aún así, es común encontrarse con muchas preguntas con respecto a dichos conceptos y, en especial con respecto al moméntum angular, ¿qué es?, ¿cómo lo podemos experimentar?, ¿qué tan útil es? Como veremos, este concepto puede ser la mejor carta si lo que se quiere es asombrar con la Física.

Las propiedades claves a observar en los experimentos a presentar son:

Moméntum Angular. El moméntum angular () es una magnitud vectorial que viene a formular el análogo del moméntum lineal en movimientos que incluyen rotación. No tiene unidades especiales asociadas, siendo medido en kg·m2/s (kilogramos-metro cuadrado por segundo) en el Sistema Internacional. Análogamente al moméntum lineal, éste se conserva siempre y cuando no exista un torque neto sobre el sistema.

Torque. El torque () también podría formularse como el análogo de lo que entendíamos por fuerzas cuando se incluye rotación en el sistema. Este tampoco posee unidades especiales asociadas, pero se mide en kg·m2/s2 (kilogramos-metro cuadrado por segundo cuadrado) en el Sistema Internacional.

Momento de Inercia. El momento de inercia de un sistema intenta representar “cuánta inercia” posee un cuerpo, lo que lógicamente dependerá de la distrubición gométrica de la masa de un sistema. En palabras más simples, es la “resistencia” que ejerce un cuerpo a rotar. Tampoco tiene unidades de medida especiales asociadas, y es medido en kg·m2 (kilogramos-metro cuadrado) en el Sistema Internacional.

Velocidad Angular. La velocidad angular, (), representa la cantidad de ángulo girado por unidad de tiempo. Esta cantidad es medida en radianes por segundo (rad/s) en el S.I.

El experimento de la rueda colgante

Figura 2.1: Diagrama del sistema para el experimento de la rueda.

En el presente artículo, nos enfocaremos en el estudio de dos de los más comunes experimentos de la mecánica rotacional: el experimento de la rueda de bicicleta y el experimento de la silla giratoria.

El primero consiste en una rueda de bicicleta a la que se le agrega un eje de metal u otro material, de manera que la misma pueda rotar mientras uno la sostiene. Uno de los experimentos más simples de hacer con esta rueda consiste en primero intentar cambiar la dirección en la que apunta el eje con los brazos estirados hacia adelante sosteniendo la rueda por el eje con ámbas manos (una a cada lado). Luego, la idea es intentar el mismo experimento pero ahora con la rueda en movimiento. La diferencia en esfuerzo para cambiar la dirección a la que apunta el eje de la rueda será notable. Aún así, el experimento que nos interesa en el presente artículo es mucho más atractivo y se hace de la siguiente manera:

  1. Consiga una cuerda gruesa (necesitamos colgar la rueda, por lo que debe al menos resistir el peso que provocará la rueda) y haga un nudo uniendo sus extremos, de tal manera de formar un lazo.
  2. En un lugar abierto, cuelgue el lazo que acaba de armar.
  3. Posicione uno de los ejes de la rueda en la parte del lazo que ha quedado colgando, mientras la sostiene con una mano desde el eje que queda libre (en realidad, acá nos percatamos que la cuerda no es del todo necesaria. Podríamos usar un dedo de nuestra mano para poder usar de sostenedor, que es el rol que ocupa la cuerda).
  4. Haga girar la rueda lo más rápido posible y suéltela. El sistema armado (y girando) se indica en la Figura 2.1., donde denota la velocidad angular agregada por nosotros a la rueda.

Hay dos cosas interesantes de notar y que serán detalladas en las siguientes secciones. En primer lugar, al hacer girar la rueda esta no cae el suelo como uno podría esperar, sino que queda “suspendida” en la cuerda, afirmada por un solo eje. En segundo lugar, la rueda no se mantiene en esa única posición, sino que además gira alrededor de la cuerda con una cierta velocidad angular (que en la Figura 2.1 hemos denotado por ).

El experimento de la silla giratoria

El siguiente experimento que cubriremos será el de la silla giratoria. Este experimento es bastante simple y tiene muchísimas variantes, las que enumeramos a continuación:

El experimento clásico. Siéntese en la silla giratoria e impúlsese (o pídale a alguien que le aplique un impulso) de manera de girar en la silla. Extienda sus brazos y ponga atención a la velocidad angular con la que está girando. Luego, junte sus brazos y note la diferencia en dicha velocidad. Si puede conseguir mancuernas, repita el experimento sosteniéndo estas con sus manos: el efecto será más notorio aún.

Figura 2.2: Diagrama del giro de la rueda. La flecha que apunta hacia arriba representa la normal desde el suelo.

Girando con la rueda. Siéntese en la silla giratoria con la rueda de bicicleta en sus manos, sosteniéndola de tal modo que el eje de giro de la rueda forme un ángulo de 90 grados con la normal desde el suelo. Pídale a alguien que haga girar la rueda. Luego, gire lentamente la rueda, como si estuviese intentando alinear el eje de la rueda con la normal, tal como se muestra en la Figura 2.2...¡note que el que gira ahora es usted!

Haciendo girar la rueda...¿sin impulso?. Siéntese en la silla giratoria con la rueda en sus manos, pero esta vez mantenga el eje de la rueda en la misma dirección que la normal desde el suelo. Impúlsese (o pida que lo impulsen) para poder girar con la silla: ¿nota que la rueda empieza a girar...en dirección contraria a la que ud. está girando?

Desglosando el Moméntum Angular

Los fenómenos observados en los experimentos anteriormente expuestos sin duda dejan más preguntas que respuestas sobre los fenómenos que nos propusimos desglosar inicialmente. Sin duda muchos de los resultados observados en estos son contraintuitivos...¿cómo puede esto ayudar a desenvolver la física detrás de los sistemas expuestos? Eso es justamente lo que intentaremos explicar a continuación.

En primer lugar, queremos hacer notar que todos los experimentos anteriormente expuestos podrían explicarse, a grandes rasgos, en función del ya mencionado moméntum (o momento) angular, también llamado “moméntum rotacional”. Este moméntum es análogo al moméntum lineal visto en movimientos rectilíneos pero aplicado ahora a movimientos en torno a ejes y no es más que una aplicación de la primera ley de Newton, que asegura que los cuerpos continuarán con la cantidad de movimiento (moméntum) con la que fueron dejados inicialmente a no ser que una fuerza externa los obligue a cambiar dicha cantidad. La diferencia es que, en este caso este moméntum depende no sólo de la velocidad de giro del cuerpo en torno al eje sino que además de la distribución de la masa del cuerpo, comunmente denotada como la inercia rotacional del cuerpo (o momento de inercia). Esta inercia juega el papel análogo a la masa en el caso del moméntum lineal. Mientras más lejos esten las masas de un eje, mayor inercia rotacional poseerá el cuerpo y, por tanto, más costará hacerlo girar (o hacerlo cambiar su moméntum angular). En ese sentido, la inercia rotacional o momento de inercia de un cuerpo es algo asi como la “resistencia” que tiene el cuerpo a modificar su rotación.

Tal como en el caso del moméntum lineal, el moméntum angular también se puede transmitir entre cuerpos y, más aún, es también una cantidad vectorial. Así, el experimento de la rueda que queda “colgando” en la cuerda podría explicarse argumentando que, como las partículas de la rueda estan obligadas a siempre mantenerse girando en círculos, es decir, poseen un cierto moméntum angular, la rueda se mantiene estable en la posición en la cual la dejamos. De este modo, lo único que tiende a caer inicialmente debido a la gravedad es el centro de masas del sistema, el cual es sostenido por la cuerda.

Los experimentos de la silla giratoria pueden explicarse de manera similar. En el primer caso, si nos impulsamos teniendo inicialmente los brazos abiertos, adquiriremos un cierto moméntum angular. Al juntar los brazos hacia el eje de giro, la masa estará distribuída más cerca de dicho eje, lo que implica que tendremos menos inercia rotacional (menos “resistencia a movernos”), por lo que la velocidad de giro aumenta. Para el caso de los dos experimentos restantes con la silla giratoria (“Girando con la rueda” y “Haciendo girar la rueda...¿sin impulso?”), lo que sucede es algo magnífico con lo que respecta al moméntum angular: este es transferible. En el primero de estos experimentos, el sistema compuesto por nosotros y la rueda no tenía momento angular con respecto al eje de la normal desde el suelo (no había nada girando en esa dirección). Al ir doblando lentamente la rueda como en la Figura 2.2, esta genera moméntum angular con respecto a dicho eje en una determinada dirección por lo que, para mantener el moméntum angular tal y como estaba en un principio, nosotros giraremos en la dirección contraria a la de la rueda (¡pues el moméntum angular inicial del sistema en el eje de la normal era cero!). La misma explicación es aplicable al segundo caso, en el que los que agregan moméntum angular al sistema en el eje de la normal somos ahora nosotros.

Probablemente las explicaciones anteriores suenen convincentes, pero hay muchos detalles sin resolver aún. Por ejemplo, tal como se muestra en la Figura 2.1, en el experimento de la rueda “colgante” esta gira (precesa) en torno a la cuerda con una velocidad angular determinada: ¿por qué? Este y otros detalles más serán explicados en la siguiente sección, en donde será necesario ir un poco más en detalle en las ecuaciones que gobiernan la dinámica rotacional.

Ecuaciones Relevantes en dinámica rotacional

Figura 2.3. (Izquierda) Diagrama de una partícula moviéndose con moméntum lineal p, a una distancia r del eje de giro. (Derecha) Diagrama de una partícula moviéndose en un círculo alrededor del eje de giro (nótese que en este caso el ángulo entre p y r es de 90 grados).

En esta sección se re-introducen definiciones y demostraciones clásicas de dinámica de rotaciones. Esta y la próxima son opcionales, pero es recomendada su lectura si se pretende aplicar los experimentos con estudiantes de Enseñanza Media.

Iniciamos la discusión con la definición del momento angular de una partícula. Supondremos que la partícula se mueve a una distancia r dada de un eje de giro, donde denotaremos el vector que va desde el eje a la partícula por . Dicha partícula también tiene un moméntum lineal que denotaremos por (como se muestra en la Figura 2.3, a la izquierda). De esta manera, el moméntum angular se define como:

(2.1)

Esta definición incluye un tipo de producto que no es el producto escalar típico, sino que es llamado un producto vectorial: el producto cruz. Se le llama producto vectorial pues es el producto de dos vectores (el vector que va desde el eje de giro hacia la partícula y el vector que va en la dirección del moméntum lineal), el que tiene como resultado un nuevo vector (el del momento angular) perpendicular a los anteriores. Encontrar la dirección del vector resultante es usualmente tedioso, por lo que usualmente se usa una regla para encontrar dicha dirección: la regla de la mano derecha. La regla permite encontrar la dirección del vector resultante como sigue: con nuestros dedos de la mano derecha, apuntamos al primer vector que aparece en el producto (). Luego, giramos nuestra mano hacia el siguiente vector (). La dirección de nuestro vector resultante, , vendrá dada por el dedo pulgar. La magnitud de este vector resultante, por otro lado, viene dada por:

Donde las letras sin la flecha encima denotan las magnitudes de los vectores y es el ángulo formado entre el vector y el vector (véase la Figura 2.3). En el caso en el que la partícula este girando en un círculo, el momento angular vendrá dado por:

Lo que también puede escribirse en términos de la velocidad angular de dicha partícula, recordando que :

Nótese que para el caso de una partícula girando en una circunferencia, el seno del ángulo entre los vectores involucrados es 1 (seno de 90 grados), por lo que en este caso especial la magnitud del vector momento angular es justamente igual al producto de las magnitudes de dichos vectores.

En general, tal como habíamos anticipado, el momento angular efectivamente es mayor si la velocidad de giro es mayor (término que está incluído en el momento de la partícula, lo que a su vez está incluído en la velocidad angular de la misma) y, como también habíamos predicho, el momento angular es mayor si la masa está más lejos del eje.

Podemos generalizar la teoría anterior para el caso de sólidos que giran alrededor de un eje, en donde ahora tomaremos la suma de los momentos angulares de cada una de las partículas que forman el sólido. Nótese que, en este caso, todas las partículas girarán en círculos alrededor del eje a la misma velocidad angular. Así, la magnitud del momento angular total vendrá dado por:

Aquí, hemos definido , lo que es el llamado momento de inercia. Nótese que el momento de inercia no solo depende de la masa, sino que, como ya habíamos presentado, depende también de la distribución de la masa en torno al eje. Lo maravilloso de la última ecuación que derivamos para el momento angular, es que esta es muy parecida a la del moméntum lineal, con la salvedad de que el momento de inercia ahora juega el rol de la masa y de que la velocidad en este caso es la velocidad angular (ahora el nombre “momento angular” tiene mucho más sentido).

Antes de discutir los experimentos presentados, será necesario definir una última cantidad: el torque. La definición clásica es la siguiente: dado un vector que apunta desde el eje de giro hacia una fuerza aplicada sobre el sistema, el torque viene dado por:

(Note que nuevamente tenemos un producto vectorial). Asi como está, la ecuación no parecería tener mucha relación con el momento angular, pero toda la conexión está escondida en el término de la fuerza. En terminos de variaciones, la fuerza la podemos expresar como:

(2.2)

Con esto, podemos reescribir el torque como sigue:

Pero podemos identificar el último término (el producto cruz del vector con la variación de moméntum lineal) como la variación de momento angular (véase la ecuación 2.1). Así:

(2.3)

Y he aquí, ante nuestros ojos, la conexión: ¡el torque es justamente la variación de momento angular! Note la similitud entre la relación de la fuerza con el moméntum lineal (ecuación 2.2) y el torque con el momento angular (ecuación 2.3). ¡Esto justamente nos permite ver que el torque es el análogo a la fuerza en movimientos rotacionales y el momento angular efectivamente es el análogo del moméntum lineal!

Discusión de los experimentos

Luego de la re-introducción de los conceptos del momento angular, momento de inercia y torque en la sección anterior, al fin tenemos las herramientas necesarias para desglosar los experimentos ya presentados.

La precesión de la rueda colgante

Iniciamos la discusión con una explicación sobre la precesión de la rueda colgante. Lo primero que debemos tener en mente es que si hay un movimiento del eje de giro de la rueda (la precesión), entonces estamos ante una variación del momento angular. Pero, ¿de dónde viene esta variación? La culpable es la gravedad.

En la Figura 2.4 tenemos indicada la fuerza de gravedad, ,la que actúa en el centro de masas, a una distancia r la que, para efectos prácticos, está practicamente en el centro de la rueda. Nótese que esto genera un torque que apunta en la misma dirección de giro que la precesión de la rueda, lo que no es coincidencia.

Como mencionamos antes, el torque provocará una variación de momento angular en una dirección perpendicular a la dirección donde actualmente apuntaba el momento angular dado por el giro de la rueda (en la dirección del eje de giro de la rueda). Esta suma provocará entonces que, necesariamente, el momento angular se tenga que desplazar en la dirección en contra de las manecillas del reloj alrededor de la cuerda, lo que justamente provoca la precesión observada. Nótese que mientras menor sea la distancia entre el centro de masas del sistema (practicamente en el centro de la rueda) y el punto desde donde cuelga la rueda, menor será la magnitud del torque y por tanto menor será la variación de momento angular. Esto implica que la precesión será más lenta. Por otro lado, ¡si aumentamos dicha distancia, el torque aumenta y la precesión será más rápida!

Se puede demostrar (Kleppner & Kolenkow, 1973) que la velocidad angular de precesión de la rueda viene dada por:

Donde r es el radio medido desde la cuerda a la rueda, m es la masa de la rueda, g es la aceleración de gravedad, I es el momento de inercia de la rueda con respecto a su eje (que para el caso de una rueda es , donde R es el radio de la rueda) y es la velocidad angular con que gira la rueda. Lo anterior justamente expresa matemáticamente nuestras conclusiones anteriores.

El experimento de la silla giratoria

Ya dedujimos, de una manera más heurística, por qué era que al juntar los brazos girábamos más rápido que cuando los abríamos mientras girábamos en la silla giratoria: lo que hacíamos era reducir la inercia del sistema, i.e., su “resistencia” al movimiento, lo que generaba un aumento en la velocidad angular. Ahora podremos resolver este problema desde una perspectiva matemática.

Primero que todo, obsérvese que efectivamente el moméntum se conserva pues no hay torques externos que provoquen cambios en el momento angular presente en nuestro eje de giro (obsérvese que hay un torque presente en nuestros brazos producido por la gravedad pero, como vimos en el experimento de la rueda, éstos provocan un cambio en el momento angular con respecto al eje que forman nuestros brazos, no con respecto al eje de giro de la silla). Esto implica que el momento angular es una constante del movimiento.

Podemos entonces expresar el momento angular inicial, con los brazos abiertos, como:

Donde el subíndice “i” representa el momento angular, momento de inercia de nuestro cuerpo con los brazos extendidos y velocidad angular inicial. Por otro lado, al juntar los brazos, adquirimos un nuevo momento de inercia y una nueva velocidad angular, quedando el momento angular expresado de la siguiente manera:

Ahora entra el argumento de que los momentos angulares iniciales y finales son iguales (¡pues es una constante del movimiento, como ya vimos!) Por tanto:

Así, despejando la velocidad angular final, obtenemos:

¡Y, efectivamente, como el momento de inercia final es menor que el momento de inercia inicial, la velocidad angular final es mayor!

Por último, tocaremos brevemente lo que sucede cuando tomamos la rueda en movimiento en la silla giratoria y la giramos, como se mostró en la Figura 2.2. Obsérvese que lo que se hizo fue nada más ni nada menos que agregar momento angular al eje de giro de la silla...pero, ¿cómo? Pues, obsérvese que la rueda no se giró sola: nosotros la giramos, lo que cambió la dirección del momento angular, agregando un poco de este moméntum angular en la dirección del eje de giro de la silla giratoria. Aún así, nuestro sistema inicialmente no tenía momento angular en el eje de giro de la silla giratoria, y tampoco hay algún torque aplicado a dicho eje, por lo que el momento angular debe mantenerse constante e igual a 0. Así, el único momento angular que puede lograr equiparar el momento angular agregado por la rueda es el nuestro: ¡nosotros giramos para cancelar el momento angular agregado por la rueda! Este caso es análogo a cuando un cuerpo choca con otro en reposo: para poder conservar el momento lineal del sistema, el cuerpo que inicialmente estaba en reposo se moverá al transferírsele moméntum del cuerpo en movimiento.

Situaciones cotidianas

¿Ha notado, por ejemplo, que en las películas de vaqueros, cuando estos lanzan sus sogas para atrapar animales (o bandidos), parten girándola desde un radio muy pequeño? ¡Justamente es más fácil darles moméntum de esa manera!

Conclusiones

Si bien los resultados de los experimentos expuestos en este artículo en un inicio pueden parecer (y, si aún no se han introduido los conceptos de dinámica de rotaciones, definitivamente son) altamente contraintuitivos, sin duda ayudan a motivar un estudio detallado de los sistemas propuestos.

Para realizar dicho estudio, conceptos como el del momento angular, de inercia y torque son fundamentales de entender no sólo a nivel matemático sino que también a nivel conceptual. La ligazón de conceptos más intuitivos como la ley de Inercia y las leyes de conservación del moméntum lineal son claves para poder crear puentes entre la dinámica rotacional y la dinámica lineal, los que sin duda ayudan a entender la física involucrada.

Debido a que los experimentos generan inicialmente una alta sorpresa por sus resultados, estos sin duda pueden ser una gran herramienta de apoyo en el aula tanto en la introducción de conceptos, motivando una evaluación diagnóstica, como en evaluaciones formativas.

Referencias

Kleppner, D. & Kolenkow, R. (1973), An Introduction to Mechanics, McGraw Hill.